ncias
diarias de los alumnos de nuestra escuela; o el número de personas que habitan en la
6
k) Número de personas del grupo fa-
miliar
l) Número de calzado
m) Mascota o animal preferido
Conviene diferenciar a las variables
cualitativas y cuantitativas por otro rasgo.
Las primeras mani?estan su variabilidad
en el abanico de categorías en que se cla-
si?can, categorías que no mantienen una
relación de orden entre sí.
Por ejemplo, no es posible establecer
cuál de los colores está por encima de los
otros, o cómo se ordenan las diversas na-
cionalidades u ocupaciones… (claro que
hay quien lo hace, pero por razones exter-
nas a las propias variables: gustos, razones
subjetivas, ansias de poder y dominio…).
En cambio, entre los valores que pue-
den tomar las variables cuantitativas sí
existe un cierto orden. Por ejemplo, es po-
sible ordenar los valores de las estaturas,
de las edades de las personas, de los nú-
meros de páginas de los libros, etc.
Por esta razón se dice que las variables
cualitativas se miden en una escala nomi-
nal (sus valores se reducen a los “nom-
bres” de las categorías en que se clasi?ca
el atributo) y que las variables cuantitati-
vas se miden en una escala ordinal (tiene
sentido ordenar sus valores).
Dentro de toda esta diversidad, hay al-
gunos rasgos comunes a destacar. En primer
lugar, las variables y los resultados de las
mediciones se re?eren a poblaciones, que
son los conjuntos de personas, de objetos,
de características ambientales…, que portan
alguna información relativa a la variable que
se estudia: el género, la edad, la ubicación
geográ?ca, o las opiniones de las perso-
nas; la tasa de mortalidad de los niños; los
precios de los objetos y de los servicios; la
temperatura o grado de humedad de nues-
tro ambiente; las cali?caciones de nuestros
alumnos… Cada uno de los elementos de
una población (sean personas, objetos, etc.)
recibe el nombre de individuo.
Los resultados de la medición de una
variable en el seno de una población reci-
ben el nombre de datos. Los datos –sean
categorías o clases de un atributo, o núme-
ros- re?ejan la variabilidad de la caracte-
rística estudiada en esa población. En este
sentido, los datos son mediciones en un
contexto especí?co, condición indispensa-
ble para que puedan transmitir información
(Moore, 1998).
Por ejemplo, el número 3,2 no nos
aporta información alguna; pero si decimos
que una niña pesó 3,2 Kg al nacer, sí po-
demos establecer algunas interpretaciones
acerca de su estado saludable en el mo-
mento de su nacimiento. Y si disponemos
de una colección de datos similares como,
por ejemplo, los pesos de los niños nacidos
en la población en estudio durante un lapso
de tiempo determinado, tendremos nuevos
elementos informativos para interpretar el
peso de nuestra recién nacida; por ejemplo,
si está dentro de lo normal, o no.
Todos sabemos el nombre de estas lis-
tas o colecciones de datos referidos a una
variable de una determinada población:
son las estadísticas propias de esa variable
poblacional. Esta expresión se deriva del
término Estadística, utilizado para designar
a la ciencia que se ocupa del tratamiento
de la información; es decir, de estudiar los
fenómenos de cualquier tipo por medio de
datos observados y cuanti?cados, que son
recogidos, organizados, representados y
analizados con el ?n de precisar su signi-
?cado e inferir, en lo posible, predicciones
de cara al futuro. Para todas estas tareas
contamos, pues, con métodos estadísticos.
El nombre de Estadística se atribuye al
economista alemán Gottfried Achenwall
(siglo XVIII), quien lo derivó del término
“estadistas” aplicado a los empleados del
Estadodedicadosaelaborarloscensospo-
blacionales, (censos de los que se tienen
registros históricos mucho más antiguos).
Los campos de aplicación iniciales fueron
los demográ?cos y los económicos.
Pero volvamos al hilo conductor de
nuestra re?exión. Tenemos que aprender a
convivir con la información, a seleccionar-
la, a quedarnos con la que nos puede ser
útil. Porque esa lluvia de información debe
tener un objetivo para nosotros; en otras
palabras, debemos estar en condiciones de
responder a la pregunta: ¿Para qué nos sir-
ve la información?
Probablemente ya tenemos alguna res-
puesta a esa cuestión. Primero, para man-
tenernos en conexión con nuestro mundo
y con quienes lo comparten con nosotros,
familiares, colegas, alumnos, personas de
nuestra comunidad, compatriotas… Nece-
sitamos compartir un saber, un conocer; es
7
Pero también –y sobre todo- necesita-
mos la información para tomar decisiones.
Y esto, en todos los niveles de nuestra vida:
familiar, profesional, social, política, cultu-
ral… Si no disponemos de la información
adecuada, podemos errar en nuestras de-
cisiones.
preciso estar enterados, no descolgarnos de su desarrollo físico y a su salud, características familiares, condiciones socioeconómicas,
los demás ni del mundo. anotaciones acerca del rendimiento escolar…).
Si nos limitásemos al simple registro y posterior archivo de esos datos, la información
recolectada no tendría ninguna relevancia ni trascendencia. Pero si, por el contrario, or-
ganizamos y analizamos las diversas relaciones entre ellos, podremos establecer conclu-
siones interesantes en relación con los grupos estudiados, así como compararlos entre
sí. E, incluso, podremos llegar a ver que las regularidades que presentan algunas de esas
características nos permitirán inferir conclusiones acerca de los rasgos que tendrán las
poblaciones de estudiantes futuros.
De modo que manejar oportunamen- Por otro lado, resulta muy importante la tarea de lograr que nuestros alumnos com-
te la información se ha convertido en una prendan y sepan utilizar las herramientas estadísticas, con el ?n de facilitarles la interpreta-
competencia imprescindible en nuestra ción de la información que les llega, la organización y presentación de la que ellos pueden
vida. Para alcanzar esa competencia, para producir, y la correcta toma de decisiones.
saber procesar la información, es muy con-
veniente que ésta venga expresada de una Estamos, pues, a las puertas de un campo bien interesante, bien útil, bien sencillo… y
manera organizada. Así se nos facilitará la asequible desde los primeros niveles de escolaridad. No pensemos, de entrada, en cosas
tarea de interpretarla como es debido y to- complicadas. El requisito básico para adentrarnos en la Estadística es tener hábitos de
mar las decisiones del caso. organización. Con esta predisposición no nos debe costar ir adquiriendo las técnicas co-
rrespondientes que, por lo demás, son muy lógicas y asequibles.
Pero no siempre la información circula
del entorno hacia nosotros. También ca-
mina en sentido inverso, también nosotros
somos productores de información. Y en 2. ¿Qué hacemos con los datos?
este caso, sigue siendo válida la necesidad
de expresarla de manera organizada, para
que sus receptores puedan interpretarla sin 2.1. En primer lugar, reconocer su necesidad
di?cultad y sentirse apoyados en su toma
de decisiones. Quizá la proposición de –antes que nada- reconocer la necesidad de los datos puede
llamar la atención de más de un(a) lector(a). Porque estamos acostumbrados a la idea de
De las consideraciones anteriores po- que las tareas estadísticas signi?can exclusivamente la recolección de datos, la elabora-
demos derivar las razones del interés que ción de tablas, de grá?cos, el cálculo de la media, la determinación de la moda…; es decir,
la Estadística puede tener para nosotros, no en Estadística hay que “hacer cosas” con los datos y para ello existen una serie de fórmulas
sólo como ciudadanos sino, particularmen- y procedimientos a utilizar correctamente.
te, como docentes. A este respecto, recor-
demos todos los registros que anualmente Sin embargo, si queremos hacer “nuestra” la Estadística, tenemos que empezar por
efectuamos en la escuela, referidos a di- indagar nuestra actitud ante las situaciones de la vida real; tenemos que preguntarnos
versas características de nuestros alumnos si deseamos comprenderlas para manejarlas adecuadamente y tomar las decisiones más
(grado, género, edad, aspectos referidos a pertinentes frente a ellas.
8
Sobre esta base se apoya la Estadística;
y, en particular, sobre la hipótesis de que
muchas situaciones de la vida real sólo pue-
den ser comprendidas a partir del análisis
de un conjunto de datos de carácter cuan-
titativo que hayan sido recogidos en forma
adecuada.
Así, como decíamos en el ejemplo ante-
rior, el peso de 3,2 kg de una niña al nacer
cobra todo su sentido cuando “disponemos
de una colección de datos similares como,
por ejemplo, los pesos de los niños nacidos
en la población en estudio durante un lapso
de tiempo determinado”. Lo mismo pode-
mos decir de la consideración del peso y la
estatura, o de las cali?caciones escolares,
de uno solo de nuestros alumnos.
Ahora bien, tenemos que reconocer que
la observación de un caso aislado, o recu-
rrir a la experiencia de una sola persona, o
intentar encontrar evidencias determinantes
en un suceso anecdótico, puede confundir-
nos y llevarnos a una toma de decisiones
equivocada (Batanero, 2002).
Por ello, resulta muy importante percibir
y valorar la variación que afecta a esas ca-
racterísticas (variables) que se mani?estan
en una forma cuantitativa en nuestro entor-
no. Los datos nos hablan de la presencia de
la variabilidad en muchas de las situaciones
que conforman nuestra vida. De entrada,
percibimos que no todo es uniforme, hecho
con una sola medida (afortunadamente).
Ante este panorama, la Estadística nos
ofrece algunos métodos para intentar com-
prender y analizar, en lo posible, esta varia-
ción, aunque sin negar ni agotar su riqueza
y su originalidad. Dentro de ciertos límites,
los métodos estadísticos nos permiten bus–
car explicaciones y causas de la variación y,
sobre todo, aprender del contexto.
Reúnase con sus compañeros(as) y tra-
te de hacer una lista de aquellas variables
de su entorno cuyos datos pueden resultar
de interés para su desempeño profesio-
nal.
2.2. En segundo lugar, recolectarlos
¿Dónde recolectamos los datos? Bueno,
hay muchos datos que se producen regu-
larmente, con una periodicidad al menos
anual. En cada uno de nuestros países,
todos los ministerios y despachos guber-
namentales elaboran sus Anuarios, con los
datos y tablas referentes a sus actividades
y a las variables poblacionales que son de
su incumbencia. En todos ellos existen tam-
bién instituciones nacionales de Estadística,
encargadas de recopilar los datos estadísti-
cos de interés para estudiosos y curiosos…
En el campo educativo, desde cada escuela
y desde cada instancia municipal, regional
y nacional, se producen cantidades de da-
tos propios de este ámbito educativo.
Incluso, son muchos los bancos de datos
que son publicados por organismos interna-
cionales, en los cuales se recogen y compa-
ran los que se producen en cada uno de los
países involucrados. En lo que a Latinoamé-
rica se re?ere, tenemos a la mano los ban-
cos de datos presentados por la UNESCO,
la OEA, la CEPAL-ECLAC (2005), etc., entre
otros muchos. La lectura de estos cuadros
estadísticos nos permite, no sólo asimilar la
información que contienen sino, además,
observar la forma en que se presentan.
Pero, como hemos dicho antes, noso-
tros mismos podemos señalar alguna va-
riable que nos interesa en nuestro desem-
peño profesional y, seguramente, también
podemos recolectar datos referentes a esa
variable. Tomemos, por ejemplo, el núme-
ro de inasistencias diarias de alumnos a
nuestra escuela durante un mes (20 días).
Estos datos pueden proporcionarnos cierta
información acerca de la vida escolar, sobre
todo si se comparan con los de otros meses
del año escolar; es decir, tienen interés para
nosotros.
Supongamos que estos son los datos,
día a día, empezando por el primer lunes:
{15, 19, 18, 18, 17, 17, 11, 13, 19, 18, 20, 21,
23, 26, 24, 21, 20, 17, 15, 12}.
2.3. En tercer lugar, organizar su
presentación
¿Qué hacemos con esos 20 datos (N
= 20)? Podemos hacer muchas cosas; por
ejemplo:
1. Ordenarlos de menor a mayor: {11,
12, 13, 15, 15, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19,
20, 20, 21, 21, 23, 24, 25}. O, también, de
mayor a menor. Eso nos permite observar
y anotar los valores mayor y menor: 26 y
11, respectivamente. O el valor (los dos va-
lores, en este caso) que se encuentra(n) en
el medio de los datos. O el (los) que más
veces se repite(n)…
9
ción de ciertos valores más representativos
de la misma.
La segunda forma de representar los da-
tos (distribución de frecuencias) es la que
mejor y con más detalle nos permite resu-
mir todos los datos y volverlos a “leer” orga-
nizadamente. La tercera forma (distribución
de frecuencias para datos agrupados) es, a
su vez, un resumen de la anterior, y es muy
útil cuando los datos son muy numerosos y
están muy dispersos o presentan frecuen-
cias muy bajas. Se pierde algo del detalle
que ofrece la forma de representación ante-
rior, pero nos permite una lectura más sin-
tetizada de la distribución de los datos.
Suponga que en el siguiente mes, que
tiene 23 días lectivos, se recolectan estos
datos de inasistencia diaria de alumnos a
la escuela: {12, 11, 12, 13, 14, 13, 15, 16,
14, 15, 18, 16, 19, 15, 21, 20, 24, 23, 22,
23, 23, 23, 22}.
a) Determine los valores extremos de
la distribución
b) Calcule el rango de la distribución
c) Ordene los datos de mayor a me-
nor
d) Elabore la tabla de distribución de
frecuencias correspondiente
e) Forme intervalos o clases de am-
plitud 4 (de 10 a 13, etc.) y elabore la
correspondiente tabla de distribución de
frecuencias
La representación de los datos, particu-
larmente las referentes a la distribución de
frecuencias y a la distribución de frecuen-
cias de datos agrupados, puede hacerse
Quizás al (a la) lector(a) se le puedan
ocurrir otras formas de representar los datos
anteriores, o algunas particularidades de los
mismos; pero vamos a quedarnos con las
tres señaladas. Veamos algunas caracterís-
ticas de algunas de ellas.
La primera nos permite determinar el
rango o recorrido de la distribución, es
decir, determinar la amplitud del intervalo
en que se mueven los valores. La forma de
calcularlo es restar los valores extremos; en
nuestro ejemplo, el rango de los datos es:
26 – 11 = 15.
Ese resultado no coincide con el nú-
mero de valores diferentes que podrían
aparecer entre los valores extremos de la
colección de datos. Para obtener este últi-
mo número volvemos a restar estos valores
extremos… y sumamos 1 unidad; en nues-
tro ejemplo es: 26 – 11 + 1 = 16. Si alguien
duda por qué se debe sumar 1 unidad, pón-
gase a contar cuántos valores seguidos hay
desde 11 hasta 26, ambos incluidos.
Esa primera forma de representación or-
denada de los datos va a tener utilidad más
adelante, a la hora de analizar la distribu-
ción de los mismos, mediante la determina-
2. Presentarlos en una tabla en la que se
señale cada número de inasistencias (dato)
con el número de veces (frecuencia) con el
que aparece (distribución de frecuencias):
3. Como en la tabla anterior aparecen
muchos datos diferentes (12), podemos
pensar en agruparlos un poco y presen-
tarlos en otra tabla en la que se señalen
las inasistencias agrupadas por intervalos
o clases, con el número de veces en que
se presentan (distribución de frecuencias
para datos agrupados):
10
también de forma grá?ca y no sólo mediante las tablas del tipo que acabamos de presen-
tar (forma tabular).
Tomemos el ejemplo de la distribución de frecuencias antes presentada. Para llevarla
a una grá?ca, vamos a trazar dos segmentos perpendiculares (ejes), con sus marcas o
medidas correspondientes; en el horizontal vamos a colocar, ordenados, los valores de
la variable (número de inasistencias diarias) y en el segmento vertical, las frecuencias de
esos valores.
Marcados así esos dos segmentos, vamos a levantar, en cada punto del eje horizontal,
un segmento perpendicular cuya medida sea exactamente la de la frecuencia correspon-
diente a ese valor de la variable. Haciendo esta tarea para cada uno de los valores de la
variable, llegamos a esta grá?ca:
26
22 23
18 19
14 15
11
También puede construirse una grá?ca
de barras correspondiente a la tabla que re-
coge la distribución de los datos agrupados
en clases. Para nuestro ejemplo:
8
7
6
5
4
3
2
1
Tome ahora los datos y las tablas co-
rrespondientes a las inasistencias del se-
gundo mes, y elabore:
a) la grá?ca de barras
Esta representación recibe el nombre de grá?ca de barras. Obsérvese que para con- b) el polígono de frecuencias
servar la secuencia de los valores de la variable, desde 11 hasta 26, se han marcado los c) la grá?ca de barras para los datos
valores 14, 16, 22 y 25, cuya frecuencia es 0. También puede “invertirse” la grá?ca, es agrupados en clases (10 a 13, etc.)
decir, colocar en el eje vertical los valores de la variable y en el eje horizontal, las frecuen-
cias de esos valores. Hasta ahora hemos trabajado con una
variable (inasistencias diarias de los alum-
Si se toman solamente los vértices superiores de los segmentos o barras verticales co- nos a la escuela) discreta. Veamos un ejem-
rrespondientes a las frecuencias, se construye una nueva grá?ca, conocida como polígono plo para una variable continua, como el
de frecuencias. Para nuestro ejemplo: peso o la estatura de las personas.
En nuestro medio escolar, el conoci-
miento (y seguimiento) del peso y de la
estatura de nuestros alumnos tiene su im-
portancia, ya que éstos se encuentran en
pleno proceso de desarrollo; vale la pena,
pues, recolectar los datos correspondientes
e, incluso, hacerlo periódicamente.
11
En cuanto a la organización de su pre-
sentación, que es lo que ahora nos ocupa,
enseguida percibimos que lo más práctico
es distribuir los datos individuales en clases
o intervalos ya que, con seguridad, habrá
muchos datos diferentes. De aquí se sigue
que las representaciones más apropiadas
para estos datos serán la tabla y la grá?ca
correspondientes a la distribución de datos
agrupados.
Supongamos que los pesos de 31 alum-
nos de una clase son (en Kg): {37,8; 35,6;
34; 31,9; 40,5; 34,2; 35,6; 38,7; 32,8; 35,4;
41,6; 39,8; 34,5; 37; 42; 36,6; 31,9; 36,5;
35,7; 36; 38; 44,1; 37,2; 36,8; 35; 33,5;
38,9; 37,5; 34; 36,5; 42,5}.
La primera actividad de observación nos
lleva a buscar los valores extremos; éstos
son: 31,9 y 44,1 Kg. Ahora podemos deci-
dir en cuantas clases o intervalos dividimos
el grupo, tomando en cuenta que tampoco
nos conviene tener un número excesivo de
clases; para nuestro caso, un número apro-
piado puede ser 4 ó 5 clases.
Supongamos que optamos por 4 clases.
Esto signi?ca que el gran intervalo entre los
valores extremos (de 31,9 a 44,1), cuya di-
ferencia es 12,2, debe repartirse en cuatro
lotes de igual tamaño. El tamaño de cada
intervalo debe ser, pues, el cociente de 12,2
/ 4, que es 3,05, que puede redondearse a
3,1.
Esto signi?ca que si el primer intervalo
empieza en el valor menor (31,9), el segun-
do debe empezar en 31,9 + 3,1 = 35; el ter-
cero debe empezar en 35 + 3,1 = 38,1; y el
12
cuarto, en 38,1 + 3,1 = 41,2. A partir de estos valores deducimos cuáles son los valores
mayores de cada intervalo: 34,9; 38; 41,1 y 44,2 (observe que la diferencia entre dos de
estos valores seguidos es también 3,1.
Ahora podemos construir la tabla que representa la distribución de datos agrupados:
y la grá?ca correspondiente, que en el caso de las variables continuas, se denomina
histograma (histos [tejido] + gramma [grá?co]):
Obsérvese que en el histograma los rec-
tángulos se adosan unos a otros, ya que la
variable es continua. Por esta razón, en el
eje horizontal se colocan valores divisorios
de las sucesivas clases o intervalos. ¿Cómo
se obtiene cada uno de ellos? Se toman dos
valores sucesivos, el ?nal de una clase y el
inicial de la clase siguiente, y se busca el
valor intermedio.
Por ejemplo, 34,95 es el valor intermedio entre 34,9 (valor ?nal del primer intervalo)
y 35 (valor inicial del segundo intervalo). Calculado uno de estos valores divisorios, los
demás pueden obtenerse agregando o restando el valor de la amplitud del intervalo (3,1).
Así se llega, en particular, a los valores divisorios extremos (31,85 y 44,25).
Recolecte los datos de peso y de estatura de los alumnos de su clase y elabore, para
cada variable, la tabla y la grá?ca de la distribución de datos agrupados correspondiente.
2.4. En cuarto lugar, analizarlos
Los dos puntos anteriores, referidos
a la recolección de datos y a la orga-
nización de su presentación, no tienen
ningún sentido si no desembocan en un
análisis de los mismos. Porque recorde-
mos que los datos –y la información que
se deriva de ellos- tienen como objetivo
facilitar nuestra toma de decisiones.
El análisis de los datos es un campo
muy complejo, cuyo desarrollo ocupa el
espacio más extenso e importante de la
Estadística (lo que se llama la Estadística
Inferencial). En este Cuaderno no vamos
a entrar en él. Pero sí vamos a propo-
nernos analizar y sacar conclusiones de
estas primeras formas sencillas de orga-
nizar los datos (Estadística Descriptiva),
con el fin de percibir cómo la informa-
ción ya fluye realmente de ellos.
Volvamos a nuestro primer ejem-
plo, el de las inasistencias diarias de los
alumnos a la escuela, y las tres formas
en que organizamos su presentación (or-
denados de menor a mayor, la tabla de
distribución de frecuencias, y la tabla de
distribución de frecuencias para datos
agrupados).
La primera forma de organización
nos sugiere que el número de inasisten-
cias diarias, durante el mes estudiado,
oscila entre una y dos docenas, aproxi-
madamente; que es irregular, es decir,
que varía de día en día; y que el número
más frecuente de inasistencias ha sido
de 17 y 18 (3 veces cada uno).
La tabla de distribución de frecuencias
nos permite volver a encontrar y, además,
ampliar la información anterior. Por ejem-
plo, nos permite averiguar en cuántos días
del mes se contaron 20 ó más inasistencias
(este dato puede ser de interés si, por ejem-
plo, 20 es un número crítico para la escue-
la, en el sentido de que cuando se alcanzan
o superan las 20 inasistencias diarias, se de-
termina una emergencia escolar…).
¿Cómo calcular ese número de días
del mes en que se contaron 20 ó más in-
asistencias diarias? A partir de la tabla de
distribución de frecuencias, basta con su-
mar las frecuencias correspondientes a los
datos 20, 21, 23, 24 y 26 (2 + 2 + 1 + 1
+ 1 = 7): durante 7 días las inasistencias
llegaron a 20 o estuvieron por encima de
ese número.
Como se ve, la tabla de distribución de
frecuencias puede servirnos para obtener
información nueva referida a la acumula-
ción de frecuencias entre ciertos valores de
la variable. Por ejemplo, podemos pregun-
tar cuántos datos estuvieron por debajo de
tal valor, o entre dos valores dados, o fue-
ron superiores a determinado valor.
Para responder más directamente a
este tipo de tareas, podemos construir una
nueva tabla de distribución de frecuencias
en la que aparece una nueva columna, la
referente a las frecuencias acumuladas;
es decir, para cada dato, además de su
frecuencia propia, vamos a anotar la suma
de las frecuencias correspondientes a los
datos inferiores, más la suya propia. En
nuestro ejemplo sería:
Como se puede observar, la frecuen-
cia acumulada correspondiente al valor
más alto debe coincidir con el total de
la población estudiada (20). Si queremos
saber durante cuántos días el número de
inasistencias diarias estuvo por debajo de
18, basta con leer la frecuencia acumula-
da correspondiente a 17: durante 8 días.
Y para saber durante cuántos días estuvo
por encima de 19 (la pregunta inicial),
basta restar de 20 la frecuencia acumula-
da correspondiente a 19: 20 – 13 = 7.
2. ¿Tiene algún sentido elaborar una ta-
bla con frecuencias acumuladas cuando se
trata de una variable cualitativa? ¿Por qué?
13
Siguiendo con el análisis de las inasis-
tencias diarias, nos damos cuenta de que
la tabla de distribución de frecuencias para
datos agrupados no nos aporta mayor infor-
mación adicional: solamente que la mayoría
de los datos (8 de 20) está en el intervalo de
15 a 18 inasistencias diarias [Notemos que
también es posible elaborar la columna de
frecuencias acumuladas para el caso en que
los datos vengan agrupados en clases].
Hemos utilizado tres de las herramien-
tas habituales de organización de los datos
para analizar los datos relativos a una va-
riable (también podíamos habernos servido
de las representaciones grá?cas correspon-
dientes…). Sin embargo, esto no signi?ca
que hayamos agotado todas las posibles
vías de su representación y análisis subse-
cuente.
Por ejemplo, podíamos haber separado
los datos de inasistencias en lotes de a cin-
co días, con el ?n de destacar lo que ocu-
rrió cada semana, de lunes a viernes: (15,
19, 18, 18, 17), (17, 11, 13, 19, 18), (20, 21,
23, 26, 24), (21, 20, 17, 15, 12). O también
de esta manera:
14
La organización de los datos en esta ta-
bla de doble entrada nos permite otro tipo
de análisis:
• Comparar las semanas: Desde el ?nal
de la 2a semana y, particularmente, durante
la 3a, hubo un notable incremento de inasis-
tencias; esto nos dice que la tercera sema-
na ocurrió algo particular, actuó una causa
especial (alguna enfermedad, inclemencias
climáticas…) cuyo efecto posiblemente fue
menguando durante la última semana….
• Comparar los mismos días de cada se-
mana: Por ejemplo, los lunes no han sido,
durante este mes, los días críticos para la
inasistencia escolar; tampoco los viernes.
No se mani?estan hábitos de ausencia alre-
dedor del ?n de semana…
Como se puede apreciar, ninguna de
estas informaciones nos ha sido propor-
cionada por las herramientas estadísticas
de organización de los datos que hemos
manejado con anterioridad. Esta a?rmación
nos rea?rma en el convencimiento de que
el último tipo de organización de los datos
que hemos manejado es pertinente para su
registro y análisis, ya que se trata de una
secuencia de datos en el tiempo y, en este
caso, es de suma importancia no perder el
carácter temporal de la información.
De todo lo anterior queremos extraer
algunas conclusiones importantes:
• Hay que saber seleccionar, en cada
caso, los instrumentos estadísticos de or-
ganización de los datos que nos puedan
aportar información pertinente. En nuestro
ejemplo, no nos interesa la distribución de
frecuencias para los datos agrupados en cla-
ses, ya que no aporta nada adicional.
• No debemos cerrarnos a la posibilidad
de construir y utilizar otras formas adiciona-
les de organización de los datos, con el ?n
de extraer información valiosa. En nuestro
ejemplo, la tabla de doble entrada resultó
ser un instrumento de registro que permitió
obtener información adicional muy perti-
nente.
15
¿Qué información podemos inferir de esta grá?ca? Pues, entre otras cosas:
• Un poco más de la tercera parte del ingreso (35,4 %) se dedica a alimentación; este
rubro aparece como prioritario.
• Los rubros de alimentación, vivienda y servicios, y transporte son los que absorben
casi las dos terceras partes (63,6 %) del ingreso familiar.
Tome el ejemplo de los pesos de los 31 alumnos antes considerado, analice los datos
presentes en la tabla correspondiente y llegue a algunas conclusiones.
He aquí una grá?ca de barras relativa a la distribución porcentual del ingreso familiar
para atender a los gastos correspondientes a los rubros indicados (datos de uno de nues-
tros países latinoamericanos, año 2003):
Obsérvese que la variable distribución porcentual del ingreso familiar es cualitativa, y
que sus categorías son, precisamente los rubros o áreas de necesidad indicadas. Por otro
lado, las barras son horizontales y, en lugar de las frecuencias de cada valor de la variable,
aparecen los porcentajes correspondientes.
30%
Alimentación
Renta
Ropa
• El ahorro prácticamente no cuenta
para las familias; puede presumirse que
no hay cultura de ahorro o que, con más
seguridad, las necesidades básicas son tan
perentorias que no existe la posibilidad de
ahorrar.
• En resumen, se trata de la distribución
propia de un país en el que la población
destina el ingreso familiar prácticamente
para intentar garantizar la supervivencia
del día a día…
La información contenida en esta grá?ca
puede ser todavía mayor si, por ejemplo, los
datos se recolectan periódicamente, lo que
permitiría un seguimiento temporal con el
?n de analizar las variaciones poblacionales
en la distribución de su ingreso familiar.
Cuando se trata de una variable cuali-
tativa cuya distribución en categorías viene
cuanti?cada en porcentajes, puede utili-
zarse también otro tipo de representación,
denominada grá?ca circular o de pastel.
Veamos un ejemplo similar al anterior, en el
que se muestra la distribución de los gastos
mensuales de un estudiante universitario
fuera de su casa (Shadian, 1998):
8%
10% 38%
14%
Libros
Otros
este ángulo, podemos calcular el porcentaje correspondiente de esta forma: p =
.
Como se ve, los porcentajes no se representan como barras de diferente longitud, sino
como sectores circulares de diferente área (ver Cuaderno 15). Las áreas de estos sectores
son proporcionales a los números que indican los porcentajes; a mayor (menor) porcen-
taje, mayor (menor) área del sector, es decir, mayor (menor) abertura del ángulo central
correspondiente.
Para determinar la medida de este ángulo central podemos utilizar una regla de tres
muy sencilla:
Porcentaje (%) Medida del ángulo central del sector circular
100 360o
p a
De esta forma, si conocemos el porcentaje correspondiente a una categoría de la varia-
ble, obtendremos el ángulo del sector circular así: a = px360 . En caso de que conozcamos
100
ax100
360
En el ejemplo, veri?camos primero que la suma de los porcentajes sea 100 (hágalo). A
partir de ahí, al porcentaje del 38 % le corresponde un ángulo central cuya medida es a =
(38 x 360)/100 = 136,8o; y así se calculan todas las demás medidas. Luego, se traza una
circunferencia y, con ayuda de un transportador, se van montando los sucesivos ángulos
centrales adosando cada uno al anterior.
3. a) Si el estudiante del ejemplo anterior necesita 20.000 pesos en un mes dado,
¿cuánto gasta en alimentación durante ese mes?
b) Si durante otro mes mantiene sus porcentajes de gastos y compra ropa por 2.100
pesos, ¿a cuánto ascienden sus gastos de ese mes en libros?
Hagan una pequeña encuesta en su escuela pidiendo por separado, a los niños y a las
niñas, que indiquen cuál es el deporte de su preferencia. En cada uno de los dos casos,
tomen los cuatro deportes más destacados y agrupen los demás como “Otros”. Conviertan
las frecuencias de selección en porcentajes (la suma de éstos debe ser igual a 100).
Con esta información, construyan las dos grá?cas circulares correspondientes. A partir
de ellas, analicen las preferencias manifestadas por los alumnos (niños y niñas), por separa-
do y comparativamente; valoren los pros y contras (si existen) de la práctica de cada uno de
los deportes señalados (individualismo vs. labor de equipo; posibilidades de inclusión o de
exclusión de una porción signi?cativa de alumnos; propensión o no hacia la violencia o ha-
cia la tolerancia; excesiva o moderada competitividad; habilidades que se desarrollan…).
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Y saquen sus conclusiones acerca de
las posibilidades que tiene la escuela para
satisfacer los deseos de los niños y niñas;
por ejemplo, ¿existen las instalaciones, los
preparadores y los implementos que esos
deportes requieren?; ¿se organizan periódi-
camente competiciones o campeonatos de
esas disciplinas deportivas?; ¿se valoran y
estimulan los logros de los alumnos y alum-
nas en sus prácticas deportivas?…¿cómo
mejorar las situaciones de?cientes?
3. Las medidas de
tendencia central
Ya hemos visto lo que podemos hacer
con los datos: valorarlos, recolectarlos,
organizar su presentación y analizarlos.
Vamos a verlos ahora desde otra perspec-
tiva. Por ejemplo, podemos preguntarnos si
existe(n) algún(os) dato(s) que sea(n) como
especial(es), que pueda(n) mostrarnos algu-
na característica muy particular de nuestra
colección de datos o que pueda(n), incluso,
representar a la colección completa.
En el punto 2.3., al presentar los datos
ordenados de menor a mayor (o viceversa),
decíamos que tal orden nos permite obser-
var y anotar los valores mayor y menor,
o el valor que se encuentra en el medio
de los datos, o el (los) que más veces se
repite(n)… A estos valores particulares po-
demos agregar otro, de uso muy frecuente:
el valor promedio de todos los datos.
x x x x n + + + + … 3 2 1
3.1. La media 5. Calcule la media de inasistencias para
los datos del ejemplo inicial: {15, 19, 18, 18,
El valor promedio de todos los datos 17, 17, 11, 13, 19, 18, 20, 21, 23, 26, 24, 21,
poblacionales recibe el nombre de media. 20, 17, 15, 12}.
Existen diversos tipos de valores promedio,
pero aquí nos vamos a referir a la media 6. Calcule la media de los pesos (en Kg)
aritmética. Para obtenerla, se suman todos de los niños del ejemplo dado anteriormen-
los datos y esta suma se divide entre el nú- te: {37,8; 35,6; 34; 31,9; 40,5; 34,2; 35,6;
mero de datos considerados. 38,7; 32,8; 35,4; 41,6; 39,8; 34,5; 37; 42;
36,6; 31,9; 36,5; 35,7; 36; 38; 44,1; 37,2;
4. ¿Tiene sentido calcular la media de 36,8; 35; 33,5; 38,9; 37,5; 34; 36,5; 42,5}.
los datos cuando la variable es cualitativa?
¿Por qué? Con el ?n de presentar una fórmula ge-
neralizada para calcular la media de cual-
En realidad, la media es el valor que quier conjunto de datos, procedemos así:
cada sujeto de la población tendría si se
repartiera “equitativamente” entre todos el • Denotamos con n el número de datos
valor de la suma total de los datos de la po- del conjunto (31, en el último ejercicio).
blación. La media puede coincidir o no con • Denotamos los n datos del conjunto
alguno de los datos del conjunto. con los símbolos x1, x2,…, xn, donde, por
ejemplo, x3 representa el tercer dato (34
a) Sea el conjunto de datos: {11, 7, 10, Kg, en el último ejercicio) y x18 es el que
9, 10, 8, 7, 10} ocupa la posición 18 (36,5 Kg, en el último
La media es: (11+7+10+9+8+7+10) / 8 ejercicio).
= 72 / 8 = 9 • Si denotamos la media con el símbolo
La media coincide con uno de los da- x, la fórmula que permite calcular su valor
tos del conjunto se expresa así:
b) Sea el conjunto de datos: {11, 8, 10,
8, 10, 8, 7, 10} x = [1]
La media es: 72 / 8 = 9 n
La media no coincide con ninguno de
los datos del conjunto Como se ve, para calcular la media no
hace falta que los datos estén ordenados, ya
c) Sea el conjunto de datos: {10, 11, 12, que la suma es conmutativa.
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
La media es: 145 / 10 = 14,5 Por otro lado, veamos el caso en que los
La media no coincide con ninguno de datos se presentan en una tabla de distri-
los datos del conjunto bución de frecuencias, como la del primer
ejemplo de inasistencias a la escuela:
Para calcular la media efectuaríamos la
suma: 11 + 12 + 13 + 15 + 15 + 17 + 17 +
17 + …; está claro que podemos abreviar la
suma si los sumandos que se repiten se co-
locan en forma de producto; por ejemplo:
11 + 12 + 13 + (2 x 15) + (3 x 17) + … Estos
paréntesis recogen el producto del dato por
la frecuencia con que aparece; incluso 11
puede verse como uno de esos productos,
ya que la frecuencia de aparición del dato
11 es 1.
De modo que la suma de todos los da-
tos, uno por uno, puede sustituirse por la
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